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鲁卡斯(如何解决黑白对调的难题)

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  • 2023-12-24 09:00
  • 龙泉小编

鲁卡斯(如何解决黑白对调的难题)

数学大玩家刘卡

众所周知,陈省身先生(原籍浙江嘉兴晚年定居天津)是20世纪几位屈指可数的大数学家之一,他生前曾说过一句名言:“数学好玩”,经常被人引用。陈先生早年出国深造,又曾得过世界级的大奖,此话当然有感而发,并非戏言.

法国数学家刘卡〔别译鲁卡斯(EdouardLucas,1842~1891)]就是一个很生动的例子,此人青史留名,有不少重要建树,例如刘卡数列、刘卡素性判定法等。对素数有深入研究,然而他为人却很诙谐,富有童心,尤其对数学游戏情有独钟,曾提出过著名的夫妻围坐圆桌的问题,引起许多学者的兴趣.

1789年,发生了法国大革命,巴士底狱被打开,死囚们全部放出,国王路易十六与他的王后却被送上了断头台,社会上发生了翻天覆地的变化从此以后,社会上就流行起了一种“黑白易位”游戏,

不论是棋盘的形状与棋子的摆法都非常对称,给人们的第一个印象就是吸引眼球!黑白棋子各24枚,中间留出一个空档作调动棋子之用.不要小觑它,或走或跳,它都起着关键性的作用(图5-11).

图5-11黑白易位

规定白子只能从左到右地走或跳(跳法只能隔一跳一,前方必须有空档)。或者从上到下地走或跳;黑子则恰恰相反,只能从右到左或从下到上,要求用最少的步数,使黑白棋子互相交换位置,你能办到吗?无疑,这道怪题很像一头下山的吊睛白额猛虎,谁能做打虎的武松呢?

刘卡的想法与众不同,他认为,不应该盲目地乱来一通(绝大多数人都是这样搞的),而是应该先从解剖麻雀着手,把问题的复杂度大大降低。

他把二维降为一维,平面变成直线,果断地先来解决狭长棋盘上的类似问题(图5-12).

图5-12问题的简化


这一来,问题的难度大大降低了,任何人都可以动手跃跃欲试,各有各的解法,所谓“蟹有蟹路,虾有虾道”,不必强求一致可是,刘卡的解法却是高人一等的,在他的解法中凸现了数学美何以见得,不妨让我们来看看他的办法:

共需15步,其中走6步,跳9步,全都是3的倍数,这就是最优解了。问题已告解决,但刘卡并未到此止步。他把狭长棋盘的7个格子,用自然数1,2,3,4,5,6,7来编号(图5-13):

图5-13把棋盘编号


刘卡反问自己:“我用黑、白两子或走或跳作记录。这种办法是不是太笨拙了?棋盘上的空格不是只有一个吗?走也罢,跳也罢,每动一步,空穴的位置就相应地搬了家。其实,只要把空穴的移动记录下来,什么问题都解决了!”

想到这里,他猛然开窍,当下拍案而起。一面哈哈大笑、立即写下了空穴的流动记录:

3,5,6,4,2,1,3,5,7,6,4,2,3,5,4.

时至今日,研究固体物理的学者们都知道半导体有p型与n型之分,可以制成pnp型或npn型的半导体三极管,“空穴流转”学说正是半导体理论的精妙之处,而早在200多年以前刘卡就从数学游戏中“领悟”出了它的存在与作用,真是妙不可言。数理相通,两者本是一体啊。

现在可以回过头来解决法国大革命时流传下来的“黑白易位”大难题了。从“空穴流动”记法中截头去尾,好比扬州名菜“红楼宴”中,只取菜心,留下来的

2,1,3,5,7,6,4

的7个空穴,不是正好不重不漏地遍布于中央一列(自左至右算是第四纵列)吗?因而立即想出了全盘解决之道:先处理中央列,走过4步以后,等到空穴2出现时,就将第二行全部进行黑白易位,接下来对1,3,5,7,6,4行作类似处理。最后再解决中央列的剩余部分。不难看出。所有的移位办法都是基本雷同的,轻而易举,不会出错.

总共需要8x15=120步,就能完成任务。水平方向的移动需要做7次而垂直方向的移动只要做1次。

当然也可将“水平”和“垂直”交换地位,照样可以解决问题从头到脚,体现出“对称”的美妙来.

以上内容摘自《数学不了情》,著者谈祥柏。

特别收录

法国大革命的两句话

风云际会的时代,总有太多的情感用以宣泄,太多的语言用来铺排,但对于人道与暴虐、高尚与卑鄙纠缠不休的“大革命”,只用两句话就够了——这两句话,出自两个女人之口……

玛丽·安托内特(Marie Antoinette,1755-1793),路易十六的王后,一个因后世极力渲染的无知而载入史册的妇人。

不知时宜的大臣:殿下,路有饿殍,面包不得而食。

纵情深色的王后:那就让他们吃蛋糕。

……

“要是没有面包,那就让他们吃蛋糕”(S'ils n'ont pas de pain,qu'ils mangent de la brioche)——这句话足以赋予一场“革命”所需的全部正义。

1793年11月8日,“吉伦特的无冕女王”——罗兰夫人(Madame Roland,1754-1793)被昨日并肩战斗的“革命战友”,今天的“共和国的独裁者”送上了断头台。

无耻的女人,滚上断头台!——“革命广场”上万众欢腾,看客们渴望又一个带血的头颅。

罗兰夫人环顾断头台下的人群,良久,留下了她的遗言——“启蒙世纪”(Le Siècle des Lumières)的遗言:

O Liberté,que de crimes on commet en ton nom!

自由啊,多少罪孽假汝之名!

以上内容摘自《德尔斐的囚徒》,李轻舟著。

问题的简化和答案解析

基本型详解

鲁卡斯(如何解决黑白对调的难题)

从基本型获得启发

解题计划

开局

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解决第二行

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再解决第一行

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再解决第三行

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再解决第五行

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再解决第七行

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再解决第六行

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再解决第四行

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调整中央第四列的思路

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大结局

鲁卡斯(如何解决黑白对调的难题)

总结:

刘卡(有的资料把他的名字译作柳卡)的降维打击使问题得到了简化。二维降为一维,复杂化为简单。

观察基本型的数字记法,获得启发。像古代写作八股文一样,合理规划,注意关键处的“起承转合”(指做八股文的一种公式,即所谓“起要平起,承要春容,转要变化,合要渊永”),统筹兼顾,最终优雅地解决问题。

此刻,想起了传统智力游戏——三国华容道。横刀立马是华容道的一种经典开局。请看下图:


鲁卡斯(如何解决黑白对调的难题)

解法

还是同样的开局。不过,华容道感觉更有趣,难度也更大。

鲁卡斯(如何解决黑白对调的难题)

数学的范畴极为广阔,天地万物,无所不包。棋牌游戏,各种智力游戏都蕴含其中。

科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。

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