高效的金属带锯锯切技术广泛应用于金属和非金属材料加工行业[1]。带锯参与锯切的锯齿负载受到繁杂的锯带非线性振动特性和进给过程非线性特性的影响，不易被实时检测和补偿，一直是带锯锯切加工精确化、平稳化和高效化实现中的难点[2-4]，如何详细描述出带锯锯切过程中的锯切负载特性，以便更有效地均衡锯切负载，减少锯切损耗，提高锯切过程的可靠性，是带锯行业中亟待解决的问题之一[5]。
基于此，国内外学者进行了大量的科学研究。Ko等[6]将锯切视作多点磨削，将分齿锯切负载折合成直齿负载，提出了经典锯切负载模型；Andersson等[7-9]在此基础上，考虑齿距、加工误差等因素，构建了三向锯切耦合负载修正模型；Tian等[10]考虑惯性、刚度等因素，建立了圆锯片的横向振动力学模型；Lengoc等[11]和Gendraud等[12]基于哈密顿原理提出了特定工况下带锯条振动模型；Karakurt等[13]采用田口实验方法获得锯切加工工艺参数数据，并基于人工神经网络识别方法构建了锯齿磨损预测模型；白硕玮等[14]建立了金刚石圆盘锯锯切石材过程中锯片横向振动模型，并基于Newmark方法设计了振动模型求解算法与仿真程序；孟剑峰等[15]考虑锯切力的随机性,由模态分析法导出了线锯切割运动方程的传递函数。然而，上述研究大都将锯齿与工件的切削作用稳态化进行分析，以得到锯切负载的经验模型，没有仔细地考虑锯切的机理以及锯切负载的动态特性，因此，锯切负载特性的建模还有待于更进一步的研究。
本文基于经典锯切负载建模理论和大量锯切实验负载分析，将锯齿负载特性分为稳态特性和动态特性进行研究。引入锯齿的锯削与刮削并存原理和斜锯齿等效原理，提出等齿距工况下单个锯齿的锯切负载稳态特性模型；引入锯切进给过程的微位移等效原理，优化锯切负载的锯削部分负载动特性；引入套齿周期特性和锯带传动的周期特性，建立了变齿距工况下单锯齿锯切负载的动特性模型。
1.1 负载分析
金属带锯的实际锯切过程原理如图1所示，主要是通过锯带的带传动vc和进给运动vf实现材料的去除。图1中，D为带锯轮直径；L0为两个带锯轮中心距；vf为锯切进给速度；vc为锯切速度；lw为工件截面长度。锯切负载(锯切力F)包括FX、FY和FZ，分别表示X向、Y向、Z向锯切负载，其中最主要的部分是FX。本文主要针对X向负载FX进行研究。
图1 金属带锯床锯切原理图
在锯切负载FX中，笔者经大量的锯切实验研究发现：①直齿和斜齿锯带锯切负载特性不同；②带锯上齿距的变化和进给的不规则特性会产生不同的动态负载特性；③不是接触到工件的带锯齿就一定参与了切削即“锯削”，有些接触工件的带锯齿只是划过工件表面，形成“刮削”。
因此，实际锯切负载FX不仅包含经典理论所述的稳态负载特性，还包括大量的周期性动态负载特性。以单个锯齿参与锯切工况为例，其实际锯切负载FX可以描述为
FX(t)=FX[p(t+TB),n(t+TC),t]
(1)
式中，t为时间变量；p为锯带上相隔锯齿的间距即齿距；TB为齿距p变化的周期；n为锯带上与工件接触的锯齿个数；TC为与工件接触的n个锯齿的变化周期。
1.2 单个锯齿的锯切负载稳态特性模型
图2 直齿锯切工况原理图
图3 斜齿锯切工况原理图
单个锯齿参与锯切的工况出现在锯切工件长度lw小于齿距p的情况。如图2和图3所示，根据锯齿是否有偏角又可分为单个直齿参与锯切和单个斜齿参与锯切两种情况。
1.2.1 单个直齿参与锯切工况
如图2所示，以锯带上任意直锯齿刃的中心为原点OS，以各直锯齿刃的中心点连线为XS轴，建立三维坐标系OSXSYSZS。根据文献[6]，在锯切方向上的主切削力与未塑性形变前的切屑截面面积以及锯切材料的比压相关，即单个直锯齿在锯切方向上的经典锯切负载可表示为
FX0=ksAβ1
(2)
式中，ks为与锯切材料相关的比压力；A为未塑性形变前的切屑面积；β1为量纲一常数。
根据Ko等[6]对锯齿几何特征的分析，面积A又可表示为
(3)
式中，b为锯带厚度；δf为进给量。
根据大量实验结果分析，可以将单直齿锯切的过程细分为刮削、锯削和无切削三个环节。
(1)刮削。当锯齿处于刮削状态时，虽然锯齿与工件之间没有产生锯削，即没有去除工件材料，但是，锯齿与工件之间仍然存在挤压应力，即锯齿后刀面仍然与已加工表面有摩擦，从而产生刮削力FC，具体可以表达为
FC=kCbeβ2δf
(4)
式中，kC为与刮削材料相关的比压力；β2为量纲一常数。
(2)锯削。当锯齿处于锯削状态时，锯齿与工件之间产生锯削，即有工件材料被去除。但此时，锯齿后刀面与已加工表面仍然有摩擦，仍然有刮削力存在。因此，可以将锯切负载分为锯削负载和刮削负载。
(3)无切削。当锯齿处于无切削状态即锯齿离开工件时，锯切负载为零。
于是，引入系数α来区别锯削和刮削情况，即当锯齿处于锯削情况下时，α=1；当锯齿处于刮削情况下时，α=0。这样，依据式(2)和式(4)，单个直齿锯切工况的锯切负载FX1可以表示为
(5)
1.2.2 单个斜齿参与锯切工况
如图3所示，斜锯齿锯切工况是更一般的情况，可以在直齿坐标系OSXSYSZS的基础上，对左右分齿分别建立坐标系OLXLYLZL和ORXRYRZR。根据文献[6]，由于单个斜齿的偏角很小(均小于5°)，且左右分齿的偏角基本一致，因此可以假设左右偏角的斜齿对称。
通过斜锯齿的左分齿平面XLOLZL和右分齿平面XRORZR上的锯齿线向直齿平面XSOSZS的投影，即利用偏角γ1和γ2，可将单个斜齿等效为一个直齿，有
cosγ=cosγ1cosγ2
(6)
式中，γ为斜齿的等效直齿偏角。
这样，依据式(5)、式(6)的表述，可以得到单个斜齿的锯切负载模型为
(7)
1.3 单个锯齿的锯切负载模型优化
经大量实际锯切试验发现，由于进给机构的非线性阻尼特性，式(3)中的锯切进给量δf并非恒定不变，但可以近似等效为一个周期性的进给过程，具体描述如下：
(8)
式中，T1为无进给时间长度；T2为进给时间长度；Tf为实际进给周期，Tf= T1+T2；δ0为恒定进给量实测值；k为自然数，k=0,1,2,…。
这样，单齿锯切工况的锯切负载FX0可以进一步表示为
FX0(t)=ks(b δf)β1e-λ tsinωλt
(9)
式中，λ为锯削负载时间常数；ωλ为锯削负载波纹频率。
1.4 单个锯齿的锯切负载动态特性模型
尽管上述分析考虑了一些锯切负载的动特性，但根据带锯条的复杂程度，还必须考虑等齿距(p为常数)单齿锯切与变齿距(p为变化量)单齿锯切工况。
1.4.1 等齿距单齿锯切工况的锯切负载模型
实际锯切中，由于工件尺寸规格的差异性，会导致接触工件齿数n(n≥1)不同，其与工件截面长度lw及齿距p的相互关系可以表述为
(10)
式中， [·]表示向上取整。
如图4所示，在等齿距锯带的单齿锯切工况下，接触工件齿数n=0或者n=1，即参与锯切的锯齿个数在1与0之间交替变化，从而会呈现出锯切负载的一种周期特性。具体描述如下：
(a)1个齿参与锯切(b)0个齿参与锯切图4 等齿距锯带接触齿数计算原理图
1个齿参与锯切的时间为
t1=lw/vc
(11)
0个齿参与锯切的时间为
(12)
于是，参与锯切齿数的周期TC可描述为
(13)
这样单锯齿锯切负载特性可描述为
(14)
由式(14)可以看出：当无齿接触工件时，锯切负载为零；当有锯齿接触工件时，参与切削的单个锯齿仍然存在锯切和刮削情况。也就是说，每次与锯切工件接触的锯齿中，有处于去除材料受载状态即锯切状态的锯齿，也有处于刮削受载状态的锯齿。
此外，式(14)还表明，等齿距型锯带锯切时，会出现锯切负载的周期特性TC。
1.4.2 变齿距单齿锯切工况的锯切负载模型
变齿距单个齿参与锯切工况是实际锯切过程最一般的工况。以图5所示的3/4TPI型锯带为例，锯条每英寸(≈25.4 mm)距离上分布有3个或4个锯齿，即整条锯带上每两个锯齿之间的齿距在6.0～8.5 mm之间，且锯齿齿形由左右偏齿和直齿组合而成。但是，3/4TPI型锯带遵循一条规则，每7个齿构成一组套齿(每组套齿内锯齿分布一致)，其7个齿距之和即套齿齿距ps为常数。
图5 3/4TPI型锯带的套齿齿距原理图
这种套齿齿距特性具体可以描述如下:
(15)
式中，p1为选取最小齿距为起始齿距；p1+j为离开起始齿距的第j个齿距。
通常情况下，在锯切工件时，会呈现图6所示的周期特性。图6中，ti1和ti2为第i个锯齿的切削时间和无切削时间；TS为3/4TPI型锯带一组套齿经过工件的时间；N为整条锯带中套齿组数，为自然数；tB为整个锯带中不能构成套齿的剩余锯齿经过工件的时间，取值为0～TS。
图6 3/4TPI型锯带的周期特性
如图6所示，TS、ti1和ti2可由下式计算：
(16)
(17)
(18)
(19)
锯带在带轮上做周期性回转运动，且张紧后锯带总长一般不为套齿齿距ps的整数倍。这样，锯带上的每个齿每周重复接触工件一次，锯切负载会呈现另一种周期特性。如图6所示，锯带传动周期TB可以表示为
(20)
式中，L为锯带总长度。
这样，最终就可以得到变齿距单齿锯切工况下的锯切负载模型为
(21)
式(21)是式(14)的推广形式，主要区别在于，式(21)中的TC和t1由常量演变成了随套齿内齿距pi变化的TCi和ti1。
2.1 实验机床及带锯条
实验系统机床为图7所示的G4230-50型卧式金属带锯床，带锯条规格为英迪斯克 34×1.1×3/4TPI双金属带锯条，主要参数如表1所示。
图7 带锯床与锯切实验系统
表1 机床及带锯条参数表
2.2 实验测试工况及仪器设备
锯切负载FX由ME三向力传感器和信号放大器测量，量程为±1 kN，频响为1 kHz；传感器输出信号由INV3018CT采集仪和CIONV DASP V10版频谱分析软件进行采集分析，采样频率为1 kHz。具体实验工况参数如表2所示，由于进给运动是间歇性的，故此处选用进给平均速度来表明锯切工况。
表2 实验系统参数表
2.3 实验工件规格及尺寸
实验测试所用工件为碳素钢Q235，具体尺寸如表3所示。
表3 实验工件参数表 mm
根据本文提出的锯切负载模型和锯切实验方案进行了仿真及实验分析，结果如图8～图11和表4、表5所示。图8～图11是采集实验数据后进行400 Hz低通滤波得到的实验数据曲线，其中图b是图a曲线中截取一小段(图a矩形框标记部分)放大后的结果。具体采用的仿真参数如下：ks=77.89，β1=0.7645，kC=45.05，β2=0.1368，λ=1°，ωλ=1570 Hz，cosγ=0.996，δ0分别为0.017 mm，0.092 mm，0.021 mm，0.011 mm(分别对应图8～图11四种工况)。
(a)锯带传动周期TB特性曲线
(b)套齿周期TS特性曲线
图8 仿真和实验负载曲线
(vc=30 m/min,vf=0.6 mm/s)
(a)锯带传动周期TB特性曲线
(b)套齿周期TS特性曲线
图9 仿真和实验负载曲线
(vc=30 m/min,vf=1.2 mm/s)
(a)锯带传动周期TB特性曲线
(b)套齿周期TS特性曲线
图10 仿真和实验负载曲线
(vc=60 m/min,vf=0.6 mm/s)
(a)锯带传动周期TB特性曲线
(b)套齿周期TS特性曲线
图11 仿真和实验负载曲线
(vc=60 m/min,vf=1.2 mm/s)
图8b～图11b中，依次选取了两个套齿周期进行仿真与实验对比，实线为仿真结果，虚线为实验结果，TC1，TC2，…，TC7分别标识一个套齿周期内的7个锯齿负载波。
表4 锯切负载频谱特性分析表(vc=30 m/min)
Hz
表5 锯切负载频谱特性分析表(vc=60 m/min)
Hz
3.1 锯切负载时域特性分析
由图8～图11所示的锯切负载特性时域曲线可以得到：
(1)金属带锯床锯切过程中7个齿组成一套齿，套齿与套齿之间呈现出明显的负载周期特性，带锯每转动一圈的负载彼此之间也呈现出明显的周期特性，具有一定的重复性。当锯切速度vc=30 m/min时，锯带传动周期TB约为8.24 s，套齿周期TS约为0.102 s；当锯切速度vc=60 m/min时，锯带传动周期TB约为4.12 s，套齿周期TS约为0.051 s。对于同一工况下两个套齿内分别对应的单齿锯切负载曲线TC1，TC2，…，TC7，尽管其幅值有些不一致，但波纹相位具有一定的相似性，因而呈现出单齿周期特性。
(2)由实验负载曲线可以看出，当锯齿处于无切削状态时，负载FX近似为0；当锯齿处于切削状态时，负载在一个稳定值附近波动，而每一个波峰正是因锯床的进给导致的。这说明了本文引入锯削与刮削并存来进行负载动态建模的正确性。此外，从图中波峰的波纹、相位来看，锯切负载呈现出一定的进给周期特性。
(3)图中实验得到的负载曲线呈现出周期性，但是每个周期彼此之间的负载曲线并不完全相同，原因主要在于带锯床锯切本身工况的复杂性，套齿与套齿之间不可能完全相同，带锯每转动一圈的切削负载始终在变化。此外，在部分周期内锯切负载的仿真结果与实验结果误差较大，主要原因是带锯床进给过程复杂的非线性阻尼特性，用近似等效的周期性进给建模，实验中某些时刻带锯床瞬间的进给较大会导致负载出现一个较大的峰值。其次，工况的复杂性也会产生一些干扰信号，因而在一定程度上影响到最终采集的实验数据。
3.2 锯切负载频率特性分析
由表4和表5所示的锯切负载特性频域数据可以看出：在锯切速度vc=30 m/min、进给速度vf=0.6 mm/s的工况下，单齿特性、套齿特性以及整条锯带特性的频率值仿真与实验的误差分别为0.495 Hz、0.2825 Hz、0.005 Hz；在锯切速度vc=30 m/min、进给速度vf=1.2 mm/s的工况下，仿真与实验的误差分别为0.12 Hz、0.2825 Hz、0.005 Hz；在锯切速度vc=60 m/min、进给速度vf=0.6 mm/s的工况下，仿真与实验的误差分别为1.74 Hz、0.44 Hz、0.01 Hz；在锯切速度vc=60 m/min、进给速度vf=1.2 mm/s的工况下，仿真与实验的误差分别为1.615 Hz、0.44 Hz、0.01 Hz。本文所研究的锯切负载模型仿真频率特性与实际锯切负载的频率特性误差不超过4%，这进一步说明本文提出的锯切负载模型是有效的。
(1)在分析金属带锯锯切负载的稳态与动态特性的基础上，引入锯削与刮削并存原理和锯切进给过程的微位移等效原理，提出了单齿周期特性、套齿周期特性和整条锯带传动的周期特性，建立了变齿距工况下单锯齿锯切负载的动特性模型。
(2)当锯切工件长度lw小于一个齿距pi时，接触工件的齿数在0～1间变化, 即单齿锯切工况。基于金属带锯条锯齿分布的周期性及进给机构的非线性阻尼特性，锯切负载的动态特性主要取决于接触工件的齿数、进给机构的间歇特性和齿距pi的变化。
(3)仿真与实验结果表明，单齿周期特性、套齿周期特性以及整条锯带传动的周期特性均与实验结果较为吻合，频率特性的误差不超过4%。建立的锯切负载特性模型能够较为准确地反映实际锯切负载，从而为实际加工中锯切工艺参数优化和锯条选用提供理论支持。
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